方差 标准差 协方差

方差

方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。在概率论和数理统计中，方差（英文Variance）用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。在许多实际问题中，研究随机变量和均值之间的偏离程度有着很重大的意义。

标准差

方差开根号。

协方差

在概率论和统计学中，协方差用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是一样的情况。

可以通俗的理解为：两个变量在变化过程中是否同向变化？还是反方向变化？同向或反向程度如何？

你变大，同时我也变大，说明两个变量是同向变化的，这是协方差就是正的。

你变大，同时我变小，说明两个变量是反向变化的，这时协方差就是负的。

如果我是自然人，而你是太阳，那么两者没有相关关系，这时协方差是0。

从数值来看，协方差的数值越大，两个变量同向程度也就越大，反之亦然。

可以看出来，协方差代表了两个变量之间的是否同时偏离均值，和偏离的方向是一样还是相反。

公式：如果有X,Y两个变量，每个时刻的“X值与其均值之差”乘以“Y值与其均值之差”得到一个乘积，再对这每时刻的乘积求和并求出均值，即为协方差。

方差，标准差与协方差之间的联系与区别：

1. 方差和标准差都是对一组(一维)数据进行统计的，反映的是一维数组的离散程度；而协方差是对2组数据进行统计的，反映的是2组数据之间的相关性。

2. 标准差和均值的量纲（单位）是一致的，在描述一个波动范围时标准差比方差更方便。列如一个班男生的平均身高是170cm,标准差是10cm,那么方差就是10cm^2。可以进行的比较简便的描述是本班男生身高分布是170±10cm，方差就无法做到这点。

3. 方差可以看成是协方差的一种特殊情况，即2组数据完全一样。

4. 协方差只表明线性相关的方向，取值正无穷到负无穷。

协方差与方差之间有如下关系：

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)

D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)

协方差与期望值有如下关系：

Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。

协方差的性质：

（1）Cov(X，Y)=Cov(Y，X)；

（2）Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)，（a，b是常数）；

（3）Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)。

由协方差定义，可以看出Cov(X，X)=D(X)，Cov(Y，Y)=D(Y)。