1.核心桥梁：特征矩阵等价与矩阵类似的关系

复数域上的 n 阶方阵A与B类似的充要条件是它们的特征矩阵作为 λ 矩阵等价。这是整个推导的 “枢纽”—— 将矩阵的类似性（代数结构）转化为 λ 矩阵的等价性（形式结构）。

2.λ 矩阵等价的判定：初等因子的作用

对于 λ 矩阵，等价的充要条件是 “秩一样且初等因子完全一致”。而特征矩阵的秩恒为n（满秩，由于其行列式是 n 次特征多项式，非零多项式），因此：

两个特征矩阵等价 ⇨ 它们的初等因子完全一样。

3.准对角 λ 矩阵的初等因子性质

若 λ 矩阵是准对角矩阵，则的初等因子是所有的初等因子的 “并集”（即各块的初等因子合在一起且不替重）。这一性质允许我们通过 “拆分” 准对角矩阵的块来分析其初等因子。

4.约当块的初等因子特征

k 阶约当块的特征矩阵为：

通过初等变换可化为标准形，因此其唯一初等因子为。

5.约当标准形的构造与类似性证明

对给定方阵A，设其特征矩阵的初等因子为（其中）。

• 对每个初等因子，构造对应的 k 阶约当块；
• 构造准对角矩阵（即约当标准形）。

由步骤 3 和 4 可知，的初等因子就是所有，与的初等因子完全一样。再结合步骤 1 和 2，（等价），因此（类似）。

综上，复数域上的任何 n 阶方阵都类似于一个由其初等因子唯一确定（不计约当块顺序）的约当标准形。这一结论将复杂的矩阵类似问题转化为对初等因子的分析，是线性代数中连接矩阵结构与多项式理论的核心成果。