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一、洛必达的简介
洛必达（1661 ～ 1704），即 Marquis de l’Hôpital（1661 – 1704），乃法国杰出的数学家。1661 年，他降生于法国的贵族世家，1704 年 2 月 2 日于巴黎溘然长逝。他曾获侯爵之衔，且于军队中充任骑兵军官，其后因视力欠佳而退出军伍，转而致力于学术之钻研。他早年即展露非凡的数学天赋，在 15 岁时便成功破解帕斯卡的摆线难题，后续又攻克了约翰·伯努利向欧洲发起挑战的“最速降曲线”问题。不久之后，他舍弃了炮兵之职，将更多的时间倾注于数学领域，师从瑞士数学家伯努利研习微积分，并成为法国新解析的核心成员。
洛必达的《无限小分析》（1696）一书堪称微积分学领域最早的教科书，于十八世纪堪称典范之作。书中创立了一种算法（洛必达法则），用于探寻满足特定条件的两函数之商的极限。洛必达在前言中向莱布尼兹和伯努利，尤其是约翰·伯努利致以诚挚的谢意。洛必达辞世之后，伯努利发表声明称该法则及诸多其他发现应归功于他。
洛必达的著作在 18 世纪的圆锥曲线研究领域仍备受推崇。其最为重大的著作为《阐明曲线的无穷小于分析》〔1696〕，此著作为世界上首部系统的微积分学教科书。该书由一组定义和公理起始，全面阐释了变量、无穷小量、切线、微分等概念，对新创建的微积分理论的传播发挥了巨大作用。在书中第九章记载着约翰‧伯努利于 1694 年 7 月 22 日告知他的一个著名定理：“洛必达法则，即求一个分式当分子和分母都趋于零时的极限的法则。”
后人误将其视作他的发明，故而“洛必达法则”之名沿用至今。洛必达还创作过有关几何、代数及力学方面的文章。他亦曾规划撰写一本关于积分学的教科书，不过因过早离世，这本积分学教科书未能完稿。而遗留的手稿于 1720 年在巴黎出版，名为《圆锥曲线分析论》。
二、罗尔的介绍
罗尔（Michel Rolle，1652 年 4 月 21 日生于昂贝尔特 – 1719 年 11 月 8 日卒于巴黎），乃是法国数学家。其出身于小店家庭，仅接受过初等教育，且成婚过早。年轻时，他生活困顿，依靠充当公证人与律师抄录员的微薄薪资维持生计。不过，他于业余时间勤奋自学代数及丢番图的著作，并颇有心得。1719 年，他因中风离世。
1682 年，他成功解决了数学家奥扎南提出的一个数论难题，由此博得学术界的赞誉，声名鹊起，其生活亦迎来转机，此后，他担任初等数学教师及陆军部行征官员。1685 年，他进入法国科学院，担任低级职务，直至 1690 年方获得科学院发放的固定薪酬。此后，他一直在科学院任职，直至 1719 年因中风谢世。
罗尔在数学领域的成就主要聚焦于代数方面，尤其擅长丢番图方程的研究。1690 年，其专著《代数学讲义》出版，在该著作中，他论述了仿射方程组，并运用欧几里得法则系统地解决了丢番图的线性方程问题。罗尔已然掌握了方程组的消元法，并提出以所谓“级联”（cascades）法则分离代数方程的根。此外，他还对有关最大公约数的某些问题展开了研究。
罗尔于 1691 年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指明：在多项式方程的两个相邻实根之间，方程至少存在一个根。一百多年后的 1846 年，尤斯托·伯拉维提斯将这必定理拓展至可微函数，并将此定理命名为罗尔定理。罗尔在数学上的成就主要体现于代数方面，专长于丢番图方程的研究。罗尔于 1691 年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出：在多项式方程的两个相邻实根之间，方程至少有一个根。一百多年后，即 1846 年，尤斯托（Giusto Bellavitis）将这必定理推广至可微函数，尤斯托还将此定理命名为罗尔定理。
罗尔还探究并获取了与当下相符的实数集的序之概念。他推动了当下所采用的负数大小顺序性的确立，而在他之前，笛卡尔及同时代的众多人士皆认为 -2 < -5 ，罗尔自 1691 年起便已采用了现今的负数大小排列次序。他明确言道：“我认为
罗尔所处之时代，正值牛顿、莱布尼兹的微积分初诞不久。鉴于这一新生事物存在逻辑上的瑕疵，故而遭受了多方面的责难，罗尔亦在其中，并且他是反对派中最为直言无忌的一员。1700 年，于法国科学院爆发了一场有关无穷小方法是否属实的论争。在这场论战当中，罗尔觉得无穷小方法因欠缺理论根基将会引发谬误，并言：“微积分是巧妙的谬论之汇集。”瓦里格农、索弗尔等人之间，展开了极为激烈的争辩。约翰·贝努利还对罗尔加以讥讽，称其不懂微积分。由于罗尔对此问题表现得极为激动，致使科学院不得不屡屡出面加以干预。直至 1706 年秋，罗尔方才向瓦里格农、索弗尔等人承认他已然摒弃了自身的观点，并且充分认识到无穷小分析新方法的价值。
三、拉格朗日的介绍
约瑟夫·拉格朗日伯爵（Joseph Lagrange，1736 年 1 月 25 日－1813 年 4 月 10 日），乃法国籍意大利裔之数学家与天文学家。拉格朗日曾于普鲁士腓特烈大帝麾下于柏林工作达 20 年之久，被腓特烈大帝赞为“欧洲最伟大的数学家”，其后应法国国王路易十六之邀定居巴黎直至离世。
拉格朗日一生禀赋超群，于数学、物理及天文等领域作出诸多重大贡献。其成就涵盖著名的拉格朗日中值定理，创立了拉格朗日力学等。拉格朗日乃 18 世纪一位极为重大的科学家，在数学、力学和天文学这三个学科中皆具历史性的重大功绩，然其主要身份为数学家。他最为卓著的贡献在于使数学分析的基础脱离几何与力学方面发挥了决定性作用，令数学的独立性更为明晰，而非仅仅作为其他学科的工具。同时，在促使天文学力学化、力学分析化方面亦起到了历史性作用，推动力学和天文学（天体力学）更为深入地发展。
在他所处之时代，分析学等分支方才起步，尚缺乏严密性与标准形式，然此并不足以阻碍他获取众多成果。拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中皆有重大历史性贡献，但其主要为数学家，研究力学和天文学之目的在于彰显数学分析的威力。其全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯逾 500 篇。拉格朗日的学术生涯主要处于 18 世纪后半期。彼时，对数学、物理学和天文学乃是自然科学之主体，数学的主流乃由微积分发展而来的数学分析，以欧洲大陆为核心；物理学的主流为力学；天文学的主流系天体力学，数学分析的发展促使力学和天体力学深化，而力学和天体力学的课题亦成为数学分析发展的动力，当时的自然科学代表人物皆于此三个学科作出了历史性重大贡献。
1、月球问题
拉格朗日既总结了 18 世纪的数学成果，又为 19 世纪的数学研究铺就了道路，堪称法国最为卓越的数学大师。同时，他在月球运动（三体问题）、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面所取得的成果，于使天文学力学化、力学分析化方面，发挥了历史性的效用，推动了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究。
2、方程解法
在柏林工作的初始十年，拉格朗日将诸多时间耗费在代数方程和超越方程的解法之上，作出了极具价值的贡献，推动了代数学的进步。他向柏林科学院呈交了两篇声名远扬的论文：《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》。将前人解三、四次代数方程的各类解法，归纳为一套规范方法，即将方程转化为低一次的方程（称作辅助方程或预解式）以求解。
3、置换群
他尝试探寻五次方程的预解函数，期望此函数是低于五次方程的解，却未获成功。不过，他的理念已然蕴含着置换群的概念，对后来的阿贝尔和伽罗华起到了启发性的作用，最终解决了高于四次的一般方程为何无法用代数方法求解的问题。因而也能够说拉格朗日是群论的先驱者。
4、数论
于数论方面，拉格朗日亦展现出非凡的才华。他对费马提出的诸多问题予以解答。诸如，一个正整数是不多于 4 个平方数之和的问题等等，他还证明了圆周率的无理性。这些研究成果极大地丰富了数论的内涵。
5、幂级数
在《解析函数论》以及他早在 1772 年的一篇论文中，为微积分奠定理论基础作出了独特的尝试。他企图将微分运算归结为代数运算，从而摒弃自牛顿以来一直令人困扰的无穷小量，并期望由此出发构建起全部的分析学。不过，由于他未曾思考到无穷级数的收敛性问题，他自认为摆脱了极限概念，实则只是回避了极限概念，并未能够达成他欲使微积分代数化、严密化的目标。不过，他运用幂级数来表明函数的处理方式对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起始点。
6、分析力学
拉格朗日亦是分析力学的创立者。在其名著《分析力学》里，拉格朗日于总结历史上各类力学基本原理的基础之上，拓展达朗贝尔、欧拉等人的研究成果，引入了势和等势面的概念，进一步将数学分析应用于质点和刚体力学，提出适用于静力学和动力学的普遍方程，引入广义坐标的概念，构建了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，转变为以能量为基本概念的分析力学形式，奠定了分析力学的根基，为将力学理论推广运用到物理学的其他领域开辟了通途。
7、拉格朗日方法
他还给出刚体在重力作用下，绕旋转对称轴上的定点转动（拉格朗日陀螺）的欧拉动力学方程的解，对三体问题的求解方法作出重大贡献，解决了限制性三体运动的定型问题。拉格朗日对流体运动的理论亦有重大贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。
8、行星问题
在拉格朗日的研究工作当中，约有半数与天体力学相关。他运用自己在分析力学中的原理和公式，构建起各类天体的运动方程。于天体运动方程的解法中，拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特殊解，即拉格朗日平动解。此外，他还探究了彗星和小行星的摄动问题，提出了彗星起源的假说等。
9、数学领域荣誉
近百余年来，数学领域的诸多新成就皆能够直接或间接地追溯至拉格朗日的工作。故而他在数学史上被视作对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一，被誉为“欧洲最大的数学家”。
四、柯西的介绍
柯西，A.L.（Cauchy，Augustin-Louis）于 1789 年 8 月 21 日出生在法国巴黎，1857 年 5 月 22 日在法国斯科与世长辞。其研究范畴涉及数学、数学物理以及力学。作为数学分析严格化的先驱者，因分析严格化的需求，柯西怀揣着明确的严格化目标，为数学分析构筑了一个基本严谨的完备体系。
他曾言：“至于方法，我竭力赋予……几何学中存在的严格性，绝不借助从代数一般性导出的推理。这种推理……只能视作一种推断，有时虽适用于提示真理，但与数学科学令人折服的严谨性相去甚远。”他还表明，通过剖析公式成立的条件以及规定所用记号的含义，“消除了全部的不确定性”，并且说道：“我的主要目标是让严谨性（这是我在《分析教程》中为自己订立的准则）与基于无穷小的直接考量所获取的简洁性协调统一。”
1、极限与无穷小
柯西规定：“当一个变量相继所取的值无限趋近于一个固定值，最终与该固定值之差小到任意程度时，此值就被称作所有其他值的极限。”“当同一变量相继所取的数值无限减小直至低于任何给定的数，这个变量就被人们称为无穷小或无穷小量。这类变量以零作为其极限。”“当同一变量相继所取的数值持续增加直至高于每个给定的数，如果它是正变量，则称其以正无穷为极限，记作∞；如果是负变量，则称其以负无穷为极限，记作 -∞ 。”
从表面来看，柯西的定义与在此之前达朗贝尔、拉克鲁瓦所给出的定义差异不大，但实质上有显著的改善。第一，柯西时常将他的定义转述为不等式。在探讨复杂表达式的极限时，他运用了
2、函数及其连续性
柯西以趋近于现代的方式对单元函数予以定义：“当一些变量以如此方式相互关联，即当其中之一被给定，便能推知所有其他变量的值，那么一般就认为这些变量由前一变量来表明，此变量被命名为自变量，而其余由自变量所表明的变量，便是一般所说的该自变量的一些函数。”他以类似的方式定义多元函数，并对显函数和隐函数加以区分，凭借他所建立的微分方程解的存在性定理，在较强的条件下证明了隐函数的局部存在性。柯西给出了连续的严格界定：“函数
3、微分学
柯西依照前人的方式通过差商的极限来定义导数，但在定义中增添了一句：“当这个极限存在时，……用加撇符号
4、积分学
他不仅给出了连续函数定积分的定义，还证明了其存在性。并且他指明，这种定义对于无法将被积函数转化为原函数的一般情形同样适用。他给出了当下通用的广义积分的定义。柯西简洁且严格地证明了微积分学基本定理，即牛顿 – 莱布尼茨公式。他凭借定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还运用微分与积分中值定理来表明曲边梯形的面积，推导出平面曲线之间图形的面积、曲面面积以及立体体积的公式。柯西的定义是从仅将积分视作微分逆运算迈向现代积分理论的关键转折点，他坚持先证明存在性更是从依赖直觉过渡到严格分析的重大转折点。
5、级数论
柯西是首位认识到无穷级数论并非多项式理论的寻常推广，而应当以极限为基础构建其完备理论的数学家。他以部分和的有限性来定义级数收敛，并以此极限来定义收敛级数的和。在 18 世纪，众多数学家都隐约地运用过这种定义，而柯西则清晰地陈述了这必定义，并以此为基础相对严格地构建了完整的级数论。
他给出了所谓的“柯西准则”，证明了必要性，并以毋庸置疑的口吻断定了充分性。对于正项级数，他严格证明了比率判别法和由他创立的根式判别法；指出
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