经典优化算法——遗传算法

想象你要完成一个超难的拼图游戏，这个拼图碎片超级多，组合方式多得数不清，靠瞎拼根本找不到最佳拼法。

遗传算法就像是一群机智的“拼图小能手”在帮你解决这个难题。第一，这些“小能手”们会随机地拼出一些图案，这些图案就是初始的“拼图方案”，每个方案都像是一个独特的“个体”。

接着，要看看这些“个体”到底拼得怎么样，也就是给它们打分，得分高的就是拼得好的，更接近完整拼图的样子。那些得分高的“个体”就像在拼图比赛中表现出色的选手，它们有更大机会把自己的拼图方法传递下去，就像生物界中优秀的基因更容易遗传给下一代。

然后呢，这些优秀“个体”之间会“交流合作”，交换一下彼此拼图的部分，产生新的“拼图方案”，这就好比生物的繁殖过程，父母的基因组合产生新的后代。有时候，还会有一些小小的“意外”发生，个别碎片的位置会随机改变，这就是所谓的“变异”。

经过一轮又一轮这样的操作，“拼图小能手”们拼出的图案越来越接近完整的拼图，最终就能找到最佳的拼图方案啦。遗传算法就是通过这种模拟生物遗传、进化的方式，在复杂的问题里找到最优解。

一、遗传算法简介

1. 适合场景：广泛应用于各类优化问题，尤其是复杂的非线性问题。列如在工程设计中，寻找最优的结构参数；在机器学习中，优化神经网络的连接权重等。
2. 基本原理：遗传算法借鉴了生物进化中的遗传、变异和自然选择等思想。把问题的每个解看作是一个 “个体”，每个个体都有一组 “基因” 来描述其特征。算法第一随机生成一个初始种群，然后让这些个体像生物一样进行 “繁殖”。在繁殖过程中，优秀的个体（适应度高，即目标函数值好的解）有更大的概率将自己的基因传递给下一代，同时还会有必定概率发生基因 “变异”，产生新的特征。经过多代的进化，种群整体的适应度会不断提高，最终得到接近最优解的个体。例如在优化一个函数值时，每个可能的输入值组合就是一个个体，函数值就是适应度，通过不断进化找到使函数值最优的输入组合。
3. 优势：
4. 具有较强的全局搜索能力，能在复杂的解空间中寻找最优解。
5. 对问题的依赖性不强，不需要对问题有深入的数学理解，只要能定义适应度函数就行。
6. 可以并行处理，由于每个个体的进化过程相对独立，便于在多核处理器或分布式系统上实现加速。
7. 劣势：
8. 计算量较大，尤其是种群规模大、迭代次数多的时候。
9. 容易出现 “早熟” 现象，即算法过早收敛到局部最优解，而错过全局最优解。这可能是由于某些优秀个体在种群中迅速占据主导，导致基因多样性过早丧失。

二、什么是“适应度”？

在上述遗传算法代码中，适应度（fitness）是衡量个体优劣的一个量化指标，它在遗传算法中起着核心作用，具体含义如下：

1. 与优化目标的关联：适应度函数定义为 fitness(individual)，在这个特定例子里，适应度值等于解码后的个体值 x 的平方，即 x ** 2，这里的 x 需满足 0 <= x <= 100。这是由于我们的优化目标是寻找函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 100] 内的最大值。所以，适应度直接反映了个体与优化目标的契合程度，适应度越高，代表该个体对应的 x 值使得目标函数 f(x) 的值越大，也就意味着这个个体在解决问题（找到目标函数最大值）上表现得越好。
2. 指导选择过程：在轮盘赌选择环节，个体被选中进入下一代的概率取决于其适应度。适应度越高的个体，在轮盘赌选择中被选中的概率就越大。例如，一个个体的适应度是另一个个体的两倍，那么它被选中的概率也大致是另一个个体的两倍。这就使得适应度高的个体有更多机会将自身基因传递给下一代，推动种群朝着更优解的方向进化。
3. 评估种群优劣：通过计算种群中各个个体的适应度，我们可以了解整个种群在当前迭代下的优劣程度。在遗传算法的每一代中，跟踪最优个体的适应度（如代码中记录的 best_fitness），可以直观地看到种群是否朝着更好的方向进化。如果适应度在多代中持续增加，说明遗传算法正在有效地搜索更优解；若适应度过早停滞或不再提升，可能暗示算法陷入局部最优解等问题。
4. 遗传算法的驱动力：适应度是遗传算法进化的驱动力。它引导着选择、交叉和变异等遗传操作，使得种群不断进化，逐渐逼近全局最优解。整个遗传算法的运行过程，就是通过不断调整个体（改变基因组合），提高个体适应度，进而提升整个种群适应度，最终找到最优解的过程。

三、如何选择种群的大小和变异率？

选择合适的种群大小和变异率在遗传算法中至关重大，它们会显著影响算法的性能和结果。以下是关于如何选择它们的一些指导原则：

种群大小的选择

1. 问题的复杂度
2. 简单问题：对于相对简单、解空间较小的优化问题，较小的种群规模可能就足够了。例如，求解一个只有几个变量且取值范围有限的函数优化问题，种群大小可以设为 20 – 50。由于问题简单，较小的种群就能包含足够多的潜在解模式，过大的种群反而会增加计算量，减慢算法收敛速度。
3. 复杂问题：当处理复杂的、解空间庞大的问题时，如高维函数优化或复杂的组合优化问题（如大规模旅行商问题），需要较大的种群规模。这是由于复杂问题可能存在众多局部最优解，较大的种群有更多机会包含不同的基因组合，覆盖更广泛的解空间，从而增加找到全局最优解的可能性。对于这类问题，种群大小可能需要设置为几百甚至上千。
4. 计算资源
5. 资源有限：如果计算资源（如内存、CPU 时间）有限，应选择较小的种群规模。较大的种群需要更多的内存来存储个体信息，并且在每一代的计算中，评估适应度、进行选择、交叉和变异等操作都需要更多的计算时间。例如，在运行于资源受限的移动设备或老旧计算机上的算法，种群大小可能需要限制在较小范围内，以确保算法能够在合理时间内运行。
6. 资源充足：若有充足的计算资源，可适当增大种群规模，利用更多个体探索解空间，有可能获得更好的优化结果。例如在高性能集群环境下运行遗传算法，可以尝试较大的种群规模，观察算法性能的提升情况。
7. 算法的收敛特性
8. 收敛过快：如果在实验过程中发现遗传算法收敛过快，可能意味着种群规模过小，个体之间的基因多样性不足，算法过早地聚焦在局部最优解附近。此时，可以适当增大种群规模，引入更多的基因组合，给算法更多探索解空间的机会，避免过早收敛。
9. 收敛过慢：相反，如果算法收敛过慢，计算量过大，可能种群规模过大。此时可以尝试减小种群规模，提高计算效率，同时观察算法是否仍能保持较好的优化效果。

变异率的选择

1. 问题的特性
2. 高度非线性问题：对于高度非线性、复杂的问题，解空间中可能存在许多不连续或难以通过常规遗传操作（选择和交叉）到达的区域。此时，较高的变异率有助于算法跳出局部最优解，探索更广泛的解空间。例如，在一些复杂的神经网络结构优化问题中，较高的变异率（如 0.1 – 0.2）可能更合适，以便引入更多新的基因组合，发现更好的网络结构。
3. 线性或规律性强的问题：对于相对线性或规律性较强的问题，较低的变异率就可以满足需求。由于这类问题的最优解往往可以通过选择和交叉操作逐步逼近，过高的变异率可能会破坏已经形成的较好的基因组合，导致算法在搜索过程中出现波动，难以稳定收敛。例如，简单的线性回归模型参数优化问题，变异率可以设置在 0.01 – 0.05 之间。
4. 算法的阶段
5. 初始阶段：在遗传算法的初始阶段，为了快速探索解空间，发现潜在的优秀基因模式，可以适当设置较高的变异率。这样能使种群在开始时更加多样化，增加找到全局最优解的可能性。
6. 后期阶段：随着算法的运行，种群逐渐收敛到必定区域，此时应降低变异率。由于在后期，算法已经找到了一些较好的解模式，过高的变异率可能会破坏这些优良基因组合，使算法偏离已经接近的最优解。可以采用动态变异率的方法，让变异率随着代数的增加而逐渐降低，如使用公式 mutation_rate = initial_mutation_rate * (1 – generation / total_generations)，其中 initial_mutation_rate 是初始变异率，generation 是当前代数，total_generations 是总代数。
7. 实验和经验
8. 多次实验：通过多次实验，尝试不同的变异率值，并观察算法的性能指标（如最优解的质量、收敛速度等）。记录每次实验的结果，分析哪种变异率能使算法在当前问题上表现最佳。这是选择变异率的一种常用且有效的方法。
9. 借鉴经验：参考相关领域的文献或前人在类似问题上使用遗传算法的经验，了解他们所采用的变异率范围，并以此作为初始尝试的依据，再结合自己的实验进行调整。

选择种群大小和变异率一般需要综合思考问题的特性、计算资源以及通过实验不断调整，以找到最适合特定问题的参数设置，使遗传算法达到最佳性能。

四、种群与解空间子集

种群的确 可以看作是全部解空间的一个子集 。遗传算法通过对这个子集（种群中的个体）进行一系列操作（选择、交叉、变异）来逐步搜索最优解。

种群大小对寻找最优解的影响

1. 种群过小
2. 较快找到局部最优解：种群较小时，个体数量有限，基因多样性不足。这使得算法在搜索过程中更容易在较小的解空间范围内聚集，因此可能相对较快地找到局部最优解。例如，在一个简单的函数优化问题中，由于种群个体少，它们很快就聚焦在某个局部最优区域。
3. 难找到全局最优解：由于种群规模小，无法充分覆盖整个解空间，很可能遗漏全局最优解所在的区域。就像在一个复杂地形中寻找最低点，只有少数几个探索者，他们很容易被困在某个小山谷（局部最优），而错过更大范围内的最低点（全局最优）。
4. 耗时过长且可能无法收敛：这部分理解不太准确。实际上，种群过小时，算法收敛速度往往较快，但容易陷入局部最优，而不是耗时过长。由于个体数量少，算法在较少的迭代次数内就可能使种群中的个体趋于类似，即收敛到局部最优解，而不是难以收敛。
5. 种群过大
6. 错过全局最优解：种群过大并不直接导致错过全局最优解。相反，较大的种群理论上有更多机会包含全局最优解附近的个体，由于它能更全面地覆盖解空间。不过，种群过大会带来一些问题。第一，计算量会显著增加，由于对每个个体都要进行适应度评估、遗传操作等，这会导致算法运行时间大幅延长。其次，过大的种群可能会使种群的多样性过于分散，算法在搜索过程中难以聚焦，导致收敛速度变慢。例如，在大规模的旅行商问题中，过大的种群使得每个个体都在探索不同的路径，很难形成有效的信息积累和进化方向，从而影响找到全局最优解的效率，但不是错过全局最优解本身。

总体而言，合适的种群大小能在解空间的探索和利用之间达到平衡，从而较快找到最优解。种群过小易陷入局部最优，收敛快但可能错过全局最优；种群过大虽理论上更易找到全局最优，但计算成本高且收敛速度可能变慢。

五、Python遗传算法库

在 Python 中有一些库提供了遗传算法的实现，可直接使用：

1、DEAP（Distributed Evolutionary Algorithms in Python）：

特点：这是一个功能强劲且灵活的遗传算法库，提供了丰富的工具和类来实现各种遗传算法的组件。它支持多种编码方式（如整数编码、实数编码、二进制编码等），允许用户自定义遗传算子（选择、交叉、变异），并且易于扩展，适用于解决不同类型的优化问题，无论是简单的函数优化还是复杂的组合优化问题。

import numpy as np
from deap import base, creator, tools


# 定义适应度函数
def evalOneMax(individual):
    return sum(individual),


# 创建适应度和个体类
creator.create("FitnessMax", base.Fitness, weights=(1.0,))
creator.create("Individual", list, fitness=creator.FitnessMax)


# 初始化工具盒
toolbox = base.Toolbox()
toolbox.register("attr_bool", np.random.randint, 0, 2)
toolbox.register("individual", tools.initRepeat, creator.Individual, toolbox.attr_bool, 100)
toolbox.register("population", tools.initRepeat, list, toolbox.individual)

toolbox.register("evaluate", evalOneMax)
toolbox.register("mate", tools.cxTwoPoint)
toolbox.register("mutate", tools.mutFlipBit, indpb=0.05)
toolbox.register("select", tools.selTournament, tournsize=3)


# 遗传算法流程
def main():
    pop = toolbox.population(n=300)
    CXPB, MUTPB, NGEN = 0.5, 0.2, 40

    fitnesses = list(map(toolbox.evaluate, pop))
    for ind, fit in zip(pop, fitnesses):
        ind.fitness.values = fit

    for g in range(NGEN):
        offspring = toolbox.select(pop, len(pop))
        offspring = list(map(toolbox.clone, offspring))

        for child1, child2 in zip(offspring[::2], offspring[1::2]):
            if np.random.random() < CXPB:
                toolbox.mate(child1, child2)
                del child1.fitness.values
                del child2.fitness.values

        for mutant in offspring:
            if np.random.random() < MUTPB:
                toolbox.mutate(mutant)
                del mutant.fitness.values

        invalid_ind = [ind for ind in offspring if not ind.fitness.valid]
        fitnesses = map(toolbox.evaluate, invalid_ind)
        for ind, fit in zip(invalid_ind, fitnesses):
            ind.fitness.values = fit

        pop[:] = offspring

    best_ind = tools.selBest(pop, 1)[0]
    print("Best individual is: ", best_ind)
    print("Its fitness is: ", best_ind.fitness.values)


if __name__ == "__main__":
    main()

2、PyGAD（Python Genetic Algorithm Library）：

特点：PyGAD 是一个易于使用的遗传算法库，它提供了简洁的 API，使得用户能够快速实现遗传算法来解决优化问题。它支持多种选择方法、交叉和变异算子，并且能够处理连续和离散的优化问题。该库还提供了可视化功能，可协助用户理解遗传算法的运行过程。

import pygad
import numpy as np


# 目标函数
def fitness_func(solution, solution_idx):
    return np.sum(solution)


num_generations = 50
num_parents_mating = 10
sol_per_pop = 20
num_genes = 10
init_range_low = -2
init_range_high = 5
parent_selection_type = "sss"
keep_parents = -1
crossover_type = "single_point"
mutation_type = "random"
mutation_percent_genes = 10


ga_instance = pygad.GA(num_generations=num_generations,
                       num_parents_mating=num_parents_mating,
                       sol_per_pop=sol_per_pop,
                       num_genes=num_genes,
                       init_range_low=init_range_low,
                       init_range_high=init_range_high,
                       parent_selection_type=parent_selection_type,
                       keep_parents=keep_parents,
                       crossover_type=crossover_type,
                       mutation_type=mutation_type,
                       mutation_percent_genes=mutation_percent_genes,
                       fitness_func=fitness_func)


ga_instance.run()
solution, solution_fitness, solution_idx = ga_instance.best_solution()
print("Fitness value of the best solution = {solution_fitness}".format(solution_fitness=solution_fitness))
print("Index of the best solution : {solution_idx}".format(solution_idx=solution_idx))